Chapter Review 7 - The Normal Distribution

核心知识点总结

1. 正态分布 (Normal Distribution)

定义：钟形对称的连续概率分布

记号：X ~ N(μ, σ²)

参数：μ (均值), σ (标准差)

性质：

关于均值对称
68-95-99.7规则
总面积为1

2. 标准正态分布 (Standard Normal Distribution)

定义：均值为0，标准差为1的正态分布

记号：Z ~ N(0, 1²)

概率表示：Φ(a) = P(Z < a)

性质：

P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)
P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)

3. 标准化 (Standardization)

公式：Z = (X - μ) / σ

反标准化：X = μ + Zσ

用途：将一般正态分布转换为标准正态分布

4. 正态分布表的使用

查找概率：给定z值，查找P(Z < z)

查找z值：给定概率，查找对应的z值

注意事项：

表通常给出P(Z < z)
注意对称性
注意概率的表示方式

5. 参数估计 (Parameter Estimation)

已知概率求参数：

给定P(X < a) = p，求μ和σ

方法：

标准化：P(Z < (a-μ)/σ) = p
查表找到对应的z值
建立方程组求解

关键词汇表

正态分布 Normal Distribution

标准正态分布 Standard Normal Distribution

均值 Mean

标准差 Standard Deviation

标准化 Standardization

z值 z-score

概率表 Probability Table

对称性 Symmetry

68-95-99.7规则 68-95-99.7 Rule

参数估计 Parameter Estimation

Question 1

设X ~ N(50, 16)，求：

a) P(X < 45)

b) P(X > 55)

c) P(45 < X < 55)

d) 求x使得P(X < x) = 0.8

答题区域：

Question 2

某考试分数服从正态分布，已知：

• P(X < 60) = 0.1587

• P(X < 80) = 0.8413

a) 求考试的均值和标准差

b) 求P(X > 70)

c) 求P(65 < X < 75)

d) 如果90%的学生及格，求及格分数线

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

a) P(X < 45) = P(Z < (45-50)/4) = P(Z < -1.25) = 0.1056

b) P(X > 55) = P(Z > (55-50)/4) = P(Z > 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056

c) P(45 < X < 55) = P(-1.25 < Z < 1.25) = 0.8944 - 0.1056 = 0.7888

d) P(Z < z) = 0.8，查表得z = 0.84，所以x = 50 + 0.84×4 = 53.36

答案：a) 0.1056；b) 0.1056；c) 0.7888；d) 53.36

Question 2 解析

a) P(Z < (60-μ)/σ) = 0.1587，查表得(60-μ)/σ = -1

P(Z < (80-μ)/σ) = 0.8413，查表得(80-μ)/σ = 1

解得：μ = 70，σ = 10

b) P(X > 70) = P(Z > 0) = 0.5

c) P(65 < X < 75) = P(-0.5 < Z < 0.5) = 0.6915 - 0.3085 = 0.383

d) P(Z < z) = 0.9，查表得z = 1.28，及格线 = 70 + 1.28×10 = 82.8

答案：a) μ = 70, σ = 10；b) 0.5；c) 0.383；d) 82.8分